Bauhaus-Universität Weimar

Titel:
Element bis Hebel
Person:
Lueger, Otto Frey, Ernst
Persistente ID:
urn:nbn:de:gbv:wim2-g-3179976
PURL:
https://digitalesammlungen.uni-weimar.de/viewer/resolver?urn=urn:nbn:de:gbv:wim2-g-3185503
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Geometrifdzes Mittelä 
Gerade 
einheiten  bei Graßmann heißt er die Ergänzung des äußeren Produkts.) Ferner ift bei Punkten 
mit dem Zahlwert Ems das äußere Produkt zweier Punkte gleich dem durch He begrenzten 
Stab nach Länge, Richtung und Lage feiner Geraden, das äußere Produkt dreier Punkte gleich 
einem „Blatt', d. h. Ebenenltück in der Verbindungsebene der Punkte mit einem Inhalt gleich 
dem doppelten Inhalt des Dreiecks, das die Punkte zu Ecken hat, oder in anderer Auffalfung: 
das äußere Produkt zweier oder dreier Punkte ill die Verbindungsgerade bzw. -ebene mit einem 
bcltimmten Zahlwert und Sinn, das äußere Produkt von vier Punkten gleich einem Raumteil 
vom fechsfachen Inhalt des von ihnen gebildeten Tetraeders mit bellimmtem Vorzeichen, ufw. 
H a m i lton s Quaternionenkalkül [16] hat feinen Namen von eigentümlichen, Quaternionen 
genannten, weil aus vier Einheiten 1, i, j, k abgeleiteten, komplexen Größen; er operiert nur 
mit Vektoren und hat einige Berührungspunkte mit der Ausdehnungslehre, aber fchwerfällige 
Bezeichnungen und Rechnungsregeln, weshalb er wenig mehr benützt wird. 
Das jetzt unter dem Namen Vektorrechnung (Vektoralgebra und Vektoranalytis) verbreitete 
Syllem, das auf Heaviside [I0] und hauptlächlich Glbbs [ll) fußt, ftellt eine Annäherung 
des Quaternionenkalküls an G raßmanns Pfeilrechnung dar. Zur erften Einführung itl hier  
weiterhin [13] geeignet; der G raßmann fchen Auffaffung nähert {ich  vom Standpunkt des 
Phytikers gefchrieben ilt  
Literatur: Eine Darllellung des ganzen Gebiets mit ausführlichen Literaturangaben findet 
man in [8] und   [1] Graßmann, H., Die lineale Ausdehnungslehre, Leipzig 1844 (2. Aufl. 
1878); DerL, Die Ausdehnungslehre, Berlin 1862; beide Werke zufammen bilden, mit Zufatzen, 
den 1. Band von Graßmanns gefamm. mathem. u. phylik. Werken, herausg. von Fr. Engel, Leipzig 
1894196.  [2] Peano, G., Schepp, A., Die Grundz. d. geometr. Kalküls, Leipzig 1891.  [3] Peano, G., 
Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann, Torino1888.  [4] Hyde, E. W., 
The directional calculus based upon the methods of H. Grassmann, Bolton 1890.  [5] Whitehead, 
A. N., A treatise on universal algebra, vol. 1, Cambridge l898.-[6] Mehmke,R., Vorlef. üb.Punkt- 
u. Vektorenrechn., 1. Bd.,Punktrechnung, 1. Teilb., Leipzig u. Berlin 1913.  [7] Lotze, A., Die 
Grundgleich. d. Mech. insbef. tlarrer Körper, neu entw. mit Graßmanns Punktrechn. (Abh. u. 
Vortr. aus d. Geb. d. Mathem., Naturw. u. Technik, Heft 7), Leipzig-Berlin 1922.  [8] Rothe, H., 
Sylleme geometr. Anal., 1. Teil (Der baryzentr. Kalkul    die l-Iamiltonfchen Quaterniontn und 
ihre Verallgem), Enzykl. d. mathem. Wiff. m. Einfchl. ihrer Anwend., Bd. III, 1, Heft 7, S. 1277, 
Leipzig 1920.  Lotze, A., u. Betfch, Chr., Sylleme geometr. AnaL, 2. Tl. (Die Graßmannfche 
Ausdehnungslehre, fonlt. Sylteme geometr. Anal.), ehend., Heft 8, Leipzig 1924,  [10] Heavi- 
side, O., Electromagnetic theory, vol. 1, 3. chapt., London 1891192.  [11] Gibbs, J. W., u. Wil- 
son, E. B., Vector Analysis, New York 1901.  [12] Peters, L.,VektoranaIysis (Mathem.-phylik. 
Bibl., Bd. 57), Leipzig u. Berlin 1924.  [13] Gans, R., Einfuhr. in d. Vektoranal., 3. Aufl., 1913.  
[14] Runge, C., Vektoranah, Leipzig 1919.  [I5] Abraham, M., Enzykl. d. math. Will". m. Einfchl. 
ihrer Anwend., Bd. IV, 3, 8.3, Leipzig 1901-1908.  [16] Joly, Ch. J., A manuel of quaternions, 
London 1905. Mehmke 
Geometrifches Mittel aus n (poütiven reellen) Größen heißt die (reelle) 
n-te Wurzel ihres Produkts. So ift VÜ das geometrifche Mittel aus a und b, 
{Van dasjenige aus a, b und c ufw.; f. a. Mittel. Mehmke 
Geomontographie, die Herllellung llthographierter Landkarten, Globen ufw. mit den 
Terrainverhältniffen im Relief, das durch nachträgliche Prägung erzeugt wird. 
(ieothermik, die Lehre von der Temperaturverteilung im Innern des Erd- 
körpers. S. Erdwärme. 
Gerade, eine Linie, welche in allen ihren Punkten gleiche Richtung betitzt, 
und welche ihre Lage bei Drehung um zwei ihrer Punkte nicht ändert; fre rit 
unbegrenzt und ftrebt auf beiden Seiten demfelben unendlich fernen Punkte zu. 
Keiner ihrer Punkte ilt vor dem andern ausgezeichnet. Eine von einem Punkt 
begrenzte Gerade heißt Strahl, eine von zwei Punkten begrenzte heißt Strecke. 
Gerade in der Ebene. Es gibt o0" Gerade in der Ebene; die Gleichung einer beliebigen 
derfelben ill vom erften Grad: Ax-l- By 4- C:0 oder homogen Ax-]-By  Cw:0. it 
11:0, 3:0 wird die Gerade bzw. parallel zur x-, y-Achfe; mit C:0 geht lie durch den 
Urfprung. x20, 31:0 ift bzw. die Gleichung der y-, x-Achfe; w:0 die Gleichung der 
unendlich fernen Geraden, welche die unendlich fernen Punkte aller Geraden enthäl[. Eine 
xy 
Gerade itl durch zwei ihrer Punkte (a, b) und  b') bellimmt; ihre Gleichung ift [ a b 1 N : 0 
      
oder lIl Parameterdarltellung  ; y:  Die Achfenabfchnitte der Geraden 
GzA x-l- By-l- C: 0 lind -jiL, _g; ihre Koordinaten g, ä oder homogerägiß: C. 
Winkel u: der Geraden 0:0 mit  ilt: cosvrzmjj-L-wf-i WO 
W: i 10124-82, W:  Die Geraden lind parallel, d. h. fie fchneiden {ich im 
Unendlichen, wenn  Sie ilehen fenkrecht aufeinander, wenn AAWPBBäZÜ 
H e ffefche Normalform. der Geradengleichung: x cos a  sin a : d; dabei ift d: -T, diß 
Entfernung der Geraden vom Urfprung (das Vorzeichen von W wird fo bellimmt, daß d pofitiv 
wird), a ilt der Neigungswinkel der Geraden gegen die y-Achfe. Abttand des Punktes a,b von
        

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