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Geometrifdzes Mittelä
Gerade
einheiten bei Graßmann heißt er die Ergänzung des äußeren Produkts.) Ferner ift bei Punkten
mit dem Zahlwert Ems das äußere Produkt zweier Punkte gleich dem durch He begrenzten
Stab nach Länge, Richtung und Lage feiner Geraden, das äußere Produkt dreier Punkte gleich
einem „Blatt', d. h. Ebenenltück in der Verbindungsebene der Punkte mit einem Inhalt gleich
dem doppelten Inhalt des Dreiecks, das die Punkte zu Ecken hat, oder in anderer Auffalfung:
das äußere Produkt zweier oder dreier Punkte ill die Verbindungsgerade bzw. -ebene mit einem
bcltimmten Zahlwert und Sinn, das äußere Produkt von vier Punkten gleich einem Raumteil
vom fechsfachen Inhalt des von ihnen gebildeten Tetraeders mit bellimmtem Vorzeichen, ufw.
H a m i lton s Quaternionenkalkül [16] hat feinen Namen von eigentümlichen, Quaternionen
genannten, weil aus vier Einheiten 1, i, j, k abgeleiteten, komplexen Größen; er operiert nur
mit Vektoren und hat einige Berührungspunkte mit der Ausdehnungslehre, aber fchwerfällige
Bezeichnungen und Rechnungsregeln, weshalb er wenig mehr benützt wird.
Das jetzt unter dem Namen Vektorrechnung (Vektoralgebra und Vektoranalytis) verbreitete
Syllem, das auf Heaviside [I0] und hauptlächlich Glbbs [ll) fußt, ftellt eine Annäherung
des Quaternionenkalküls an G raßmanns Pfeilrechnung dar. Zur erften Einführung itl hier
weiterhin [13] geeignet; der G raßmann fchen Auffaffung nähert {ich vom Standpunkt des
Phytikers gefchrieben ilt
Literatur: Eine Darllellung des ganzen Gebiets mit ausführlichen Literaturangaben findet
man in [8] und [1] Graßmann, H., Die lineale Ausdehnungslehre, Leipzig 1844 (2. Aufl.
1878); DerL, Die Ausdehnungslehre, Berlin 1862; beide Werke zufammen bilden, mit Zufatzen,
den 1. Band von Graßmanns gefamm. mathem. u. phylik. Werken, herausg. von Fr. Engel, Leipzig
1894196. [2] Peano, G., Schepp, A., Die Grundz. d. geometr. Kalküls, Leipzig 1891. [3] Peano, G.,
Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann, Torino1888. [4] Hyde, E. W.,
The directional calculus based upon the methods of H. Grassmann, Bolton 1890. [5] Whitehead,
A. N., A treatise on universal algebra, vol. 1, Cambridge l898.-[6] Mehmke,R., Vorlef. üb.Punkt-
u. Vektorenrechn., 1. Bd.,Punktrechnung, 1. Teilb., Leipzig u. Berlin 1913. [7] Lotze, A., Die
Grundgleich. d. Mech. insbef. tlarrer Körper, neu entw. mit Graßmanns Punktrechn. (Abh. u.
Vortr. aus d. Geb. d. Mathem., Naturw. u. Technik, Heft 7), Leipzig-Berlin 1922. [8] Rothe, H.,
Sylleme geometr. Anal., 1. Teil (Der baryzentr. Kalkul die l-Iamiltonfchen Quaterniontn und
ihre Verallgem), Enzykl. d. mathem. Wiff. m. Einfchl. ihrer Anwend., Bd. III, 1, Heft 7, S. 1277,
Leipzig 1920. Lotze, A., u. Betfch, Chr., Sylleme geometr. AnaL, 2. Tl. (Die Graßmannfche
Ausdehnungslehre, fonlt. Sylteme geometr. Anal.), ehend., Heft 8, Leipzig 1924, [10] Heavi-
side, O., Electromagnetic theory, vol. 1, 3. chapt., London 1891192. [11] Gibbs, J. W., u. Wil-
son, E. B., Vector Analysis, New York 1901. [12] Peters, L.,VektoranaIysis (Mathem.-phylik.
Bibl., Bd. 57), Leipzig u. Berlin 1924. [13] Gans, R., Einfuhr. in d. Vektoranal., 3. Aufl., 1913.
[14] Runge, C., Vektoranah, Leipzig 1919. [I5] Abraham, M., Enzykl. d. math. Will". m. Einfchl.
ihrer Anwend., Bd. IV, 3, 8.3, Leipzig 1901-1908. [16] Joly, Ch. J., A manuel of quaternions,
London 1905. Mehmke
Geometrifches Mittel aus n (poütiven reellen) Größen heißt die (reelle)
n-te Wurzel ihres Produkts. So ift VÜ das geometrifche Mittel aus a und b,
{Van dasjenige aus a, b und c ufw.; f. a. Mittel. Mehmke
Geomontographie, die Herllellung llthographierter Landkarten, Globen ufw. mit den
Terrainverhältniffen im Relief, das durch nachträgliche Prägung erzeugt wird.
(ieothermik, die Lehre von der Temperaturverteilung im Innern des Erd-
körpers. S. Erdwärme.
Gerade, eine Linie, welche in allen ihren Punkten gleiche Richtung betitzt,
und welche ihre Lage bei Drehung um zwei ihrer Punkte nicht ändert; fre rit
unbegrenzt und ftrebt auf beiden Seiten demfelben unendlich fernen Punkte zu.
Keiner ihrer Punkte ilt vor dem andern ausgezeichnet. Eine von einem Punkt
begrenzte Gerade heißt Strahl, eine von zwei Punkten begrenzte heißt Strecke.
Gerade in der Ebene. Es gibt o0" Gerade in der Ebene; die Gleichung einer beliebigen
derfelben ill vom erften Grad: Ax-l- By 4- C:0 oder homogen Ax-]-By Cw:0. it
11:0, 3:0 wird die Gerade bzw. parallel zur x-, y-Achfe; mit C:0 geht lie durch den
Urfprung. x20, 31:0 ift bzw. die Gleichung der y-, x-Achfe; w:0 die Gleichung der
unendlich fernen Geraden, welche die unendlich fernen Punkte aller Geraden enthäl[. Eine
xy
Gerade itl durch zwei ihrer Punkte (a, b) und b') bellimmt; ihre Gleichung ift [ a b 1 N : 0
oder lIl Parameterdarltellung ; y: Die Achfenabfchnitte der Geraden
GzA x-l- By-l- C: 0 lind -jiL, _g; ihre Koordinaten g, ä oder homogerägiß: C.
Winkel u: der Geraden 0:0 mit ilt: cosvrzmjj-L-wf-i WO
W: i 10124-82, W: Die Geraden lind parallel, d. h. fie fchneiden {ich im
Unendlichen, wenn Sie ilehen fenkrecht aufeinander, wenn AAWPBBäZÜ
H e ffefche Normalform. der Geradengleichung: x cos a sin a : d; dabei ift d: -T, diß
Entfernung der Geraden vom Urfprung (das Vorzeichen von W wird fo bellimmt, daß d pofitiv
wird), a ilt der Neigungswinkel der Geraden gegen die y-Achfe. Abttand des Punktes a,b von