Ellipäfme Räder
Man unterfcheidet hierbei drei Gattungen: a) Das elliptifche Integral erfier Gattung hat die
d d
Normalform oder mit x: sin 7": äg:F(v); es wird für
-x x sin 9a
keinen Wezrt von x unendlich. b) Das elliptifche Integral zweiter Gattung hat die Normalform:
d
oder mit x: S1" 7'? W 1 -k2Sin2 I; dqr es wird nur für einen Wert
von x (nämlich x: o0) algebraifch unendlich. c) Das elliptifche Integral dritter giattung hat die
11x v
Normalform 507;?) vuiäufßxzy oder mit x : sin Wj 1 4? n Sinz? vl___kzänfp-
:II, (rf, n). Es wird für die zwei Werte xIi h logarithmifch unendlich. Auf diefe drei
Gattungen kann jedes elliptifche Integral zurückgeführt werden. Uebrigens laffen tich die Integrale
zweiter Gattung als Differentialquotienten der Integrale dritter Gattung nach dem Parameter n
anfehen. Die elliptifchen Integrale find doppelt unendlich vieldeutig. Auf fie führen manche be-
kannte Aufgaben : das ebene und fphärifche Pendel, die Rektifikation derEllipfe und der Lemnifkate.
w
d
Bettimmt man in u z ] qo als Funktion von u, fo bekommt
ö
man eine neue Funktion (p : am u (Amplitude u); daher folgt aus u I
X
dx
: s" r. s' a u Sinus am litude u Diefe und die
x inqi in m ( p )
Funktionen V1 x? I cos am u und V1- k? Äcz z am u heißen elliptifche
Funktionen. Indem man diefelben als Argumente in die elliptifchen Integrale
zweiter und dritter Gattung einführt, erhält man die elliptifchen Tranfzendenten
ll
u ka A3 2 d
In? 4902m am ZldüIEUl) und a) qgi ääil-
0 0
wo a Modul heißt.
Additionstheorem der elliptifchen Funktionen:
sinamucosamvzlamvä-sinamvcosamudamu
sin amusin amv
Die elliptifchen Funktionen find doppeltperiodifch, z. B. hat sin amu die zwei Perioden
1 1
dx dx
i 4 i _ r i 4 D AL DI .
4K Jlltl-XZHI Maße) "d 4m 'J vu
Als Weierftraßfche Normalform des elliptifchen Integrals 1.Gattung bezeichnet man das
O0
Integral Die Umkehrung desfelben itt die doppeltperiodifche p-Funktion.
l 4iv3-gi v gs
Literatur: [1] Bobek, K., Einleitung in die Theorie der elliptifchen Funktionen, Leipzig 1884.
[2] Durege, Theorie der elliptifchen Funktionen, 5. Aufl., Leipzig 1908. [3] Schmidt, .1. G.,
Syftem elliptifcher Bogen zur Erleichterung der Integralrechnung, Berlin 1842. Burkhardt,
K_, Einführung in die Theorie der analytifchen Funktionen einer komplexen _Veranderlich_en, II,
2. Aufl., Leipzig 1906. [5] Hermite, C., Ueberticht über die Theorieder elliptifchen Funktionen,
deutfch von Natani, Berlin 1863. [6] Riemann, B., Elliptifche Funktionen, herausg. von H._Stahl,
Leipzig 1899.- [7] Weieritraß, K., Formeln u. Lehrfätze zum Gebrauch der elliptifchen Funktionen,
herausg. von Schwarz, Aufl., Berlin 1902. [8] Thomae, bammlung von Formeln u. Satzen
aus dem Gebiet der elliptifchen Funktionen, neblt Anwendungen, Leipzig 1908. [9] Bohm,_
Elliptifche Funktioneml-ll, Leipzig 1908-1910. [10] Fricke, R.,_Die ellipt. Funkt. u._ ihre
Anwendung, l-II, Leipzig 1916-1922. -[1 1]Kraufe, 1 heorie derelliptifchen Funktionen, Leipzig
1912. [12] Velten, A. W., Einführung in die Theorie der elliptifchen Funktionen, 1, Hannover
A _ 1922. [13] Klein, F., Ellipt. FIEIIRÜOIIFILZBCÄIIH 1323. lrlfrzlfjüzg
' Elliptifche Räder ge en, a s a nrä er mi e ip-
e tifchem Teilriß, periodifch wechfelndes Ueberfetzungs-
r k Man benutzt fie ungern wegen der fchwierigen Bearbeitung
' I? und des unruhigen Ganges; meilt in Verbindung mit einem
LT" Kurbelgetriebe, entweder nach Fig.l fo, daß zwei Ellipfen-
t ' räder, je um einen Brennpunkt drehbar, dem Schlitten ziemlich
K " gleichmäßigen Vorfchub und fchnellen Rücklauf geben,
„Z oder fo, daß beide Räder, um den Mittelpunkt drehbar, dem Schlitten
n (I? fatt gleichmäßige Gefchwindigkeit auf dem Hingang und ebenfo auf
i dem Rückgang erteilen; im letzten Fall kann nach Fig. 2 das Antriebrad
durch ein kreisrundes, exzentrifch gelagertes Rad mit halb fo viel Zähnen
erfetzt werden, z. B. an Langlochfräsmafchinen und Garnfpulmafchinen.
Fig. i, Die Za h nfo rm wird als Evolvente durch Abwicklung einer Geraden auf