Bauhaus-Universität Weimar

Titel:
Element bis Hebel
Person:
Lueger, Otto Frey, Ernst
Persistente ID:
urn:nbn:de:gbv:wim2-g-3179976
PURL:
https://digitalesammlungen.uni-weimar.de/viewer/resolver?urn=urn:nbn:de:gbv:wim2-g-3180254
Ellipäfme Räder 
Man unterfcheidet hierbei drei Gattungen: a) Das elliptifche Integral erfier Gattung hat die 
d d  
Normalform  oder mit x: sin 7":  äg:F(v); es wird für 
-x  x  sin 9a 
keinen Wezrt von x unendlich. b) Das elliptifche Integral zweiter Gattung hat die Normalform: 
d    
 oder mit x: S1" 7'? W 1 -k2Sin2 I; dqr  es wird nur für einen Wert 
von x (nämlich x: o0) algebraifch unendlich. c) Das elliptifche Integral dritter giattung hat die 
 11x    v 
Normalform 507;?) vuiäufßxzy oder mit x : sin Wj 1 4? n Sinz? vl___kzänfp- 
:II, (rf, n). Es wird für die zwei Werte xIi h logarithmifch unendlich. Auf diefe drei 
Gattungen kann jedes elliptifche Integral zurückgeführt werden. Uebrigens laffen tich die Integrale 
zweiter Gattung als Differentialquotienten der Integrale dritter Gattung nach dem Parameter n 
anfehen. Die elliptifchen Integrale find doppelt unendlich vieldeutig. Auf fie führen manche be- 
kannte Aufgaben : das ebene und fphärifche Pendel, die Rektifikation derEllipfe und der Lemnifkate. 
w 
  d   
Bettimmt man in u z ] qo als Funktion von u, fo bekommt 
ö  
man eine neue Funktion (p : am u (Amplitude u); daher folgt aus u I 
X 
dx     
  : s" r. s' a u Sinus am litude u  Diefe und die 
 x inqi in m ( p ) 
Funktionen V1  x? I cos am u und V1- k? Äcz z  am u heißen elliptifche 
Funktionen. Indem man diefelben als Argumente in die elliptifchen Integrale 
zweiter und dritter Gattung einführt, erhält man die elliptifchen Tranfzendenten 
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u ka  A3  2 d 
In? 4902m am ZldüIEUl) und  a) qgi ääil- 
0 0 
wo a Modul heißt. 
Additionstheorem der elliptifchen Funktionen: 
 sinamucosamvzlamvä-sinamvcosamudamu 
  
 sin amusin amv 
Die elliptifchen Funktionen find doppeltperiodifch, z. B. hat sin amu die zwei Perioden 
1 1 
dx  dx 
i 4 i _     r i 4  D AL DI  . 
4K Jlltl-XZHI Maße) "d 4m 'J vu  
Als Weierftraßfche Normalform des elliptifchen Integrals 1.Gattung bezeichnet man das 
O0 
Integral  Die Umkehrung desfelben itt die doppeltperiodifche p-Funktion. 
l 4iv3-gi v  gs 
Literatur: [1] Bobek, K., Einleitung in die Theorie der elliptifchen Funktionen, Leipzig 1884. 
 [2] Durege, Theorie der elliptifchen Funktionen, 5. Aufl., Leipzig 1908.  [3] Schmidt, .1. G., 
Syftem elliptifcher Bogen zur Erleichterung der Integralrechnung, Berlin 1842.  Burkhardt, 
K_, Einführung in die Theorie der analytifchen Funktionen einer komplexen _Veranderlich_en, II, 
2. Aufl., Leipzig 1906.  [5] Hermite, C., Ueberticht über die Theorieder elliptifchen Funktionen, 
deutfch von Natani, Berlin 1863.  [6] Riemann, B., Elliptifche Funktionen, herausg. von H._Stahl, 
Leipzig 1899.- [7] Weieritraß, K., Formeln u. Lehrfätze zum Gebrauch der elliptifchen Funktionen, 
herausg. von  Schwarz,  Aufl., Berlin 1902.  [8] Thomae, bammlung von Formeln u. Satzen 
aus dem Gebiet der elliptifchen Funktionen, neblt Anwendungen, Leipzig 1908.  [9] Bohm,_  
Elliptifche Funktioneml-ll, Leipzig 1908-1910.  [10] Fricke, R.,_Die ellipt. Funkt. u._ ihre 
Anwendung, l-II, Leipzig 1916-1922. -[1 1]Kraufe,  1 heorie derelliptifchen Funktionen, Leipzig 
1912.  [12] Velten, A. W., Einführung in die Theorie der elliptifchen Funktionen, 1, Hannover 
A _ 1922.  [13] Klein, F., Ellipt. FIEIIRÜOIIFILZBCÄIIH 1323. lrlfrzlfjüzg 
 ' Elliptifche Räder ge en, a s a nrä er mi e ip- 
e    tifchem Teilriß, periodifch wechfelndes Ueberfetzungs- 
       
r   k  Man benutzt fie ungern wegen der fchwierigen Bearbeitung 
' I?  und des unruhigen Ganges; meilt in Verbindung mit einem 
  LT"  Kurbelgetriebe, entweder nach Fig.l fo, daß zwei Ellipfen- 
t '    räder, je um einen Brennpunkt drehbar, dem Schlitten ziemlich 
K "  gleichmäßigen Vorfchub und fchnellen Rücklauf geben, 
„Z oder fo, daß beide Räder, um den Mittelpunkt drehbar, dem Schlitten 
n (I? fatt gleichmäßige Gefchwindigkeit auf dem Hingang und ebenfo auf 
i  dem Rückgang erteilen; im letzten Fall kann nach Fig. 2 das Antriebrad 
  durch ein kreisrundes, exzentrifch gelagertes Rad mit halb fo viel Zähnen 
 erfetzt werden, z. B. an Langlochfräsmafchinen und Garnfpulmafchinen. 
Fig. i, Die Za h nfo rm wird als Evolvente durch Abwicklung einer Geraden auf
        

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