Bauhaus-Universität Weimar

Titel:
A bis Bohren
Person:
Lueger, Otto Frey, Ernst
Persistente ID:
urn:nbn:de:gbv:wim2-g-3163279
PURL:
https://digitalesammlungen.uni-weimar.de/viewer/resolver?urn=urn:nbn:de:gbv:wim2-g-3165562
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Äquivalenz der Bewegungen 
gelangt durch die Folge beider in ihre urfprüngliche Lage zurück; ihre Gefamtbewegung 
ilt äquivalent Null, und {ie ilt daher die Achfe der refultierenden Drehung, deren Winkel 
 ill. Die refultierende Achte wird daher mit Hilfe des Dreiecks ABC 
gefunden, in dem die Winkel an den Achfen A und B gleich g 3 und 5 3' lind, und zwar 
an der erlten Achfe A direkten, an der zweiten Achfe B entgegengefetzten Sinnes liegend 
mit den Drehwinkeln der Rotation. Die Rotationsfolge ift nicht vertaufchbar. Werden 9 und 9' 
emgegengefetzt gleich, fo geht die refultierende Drehung in eine Schiebung 1:2 AB sin  ä 
über (Fig. 6). Zwei entgegengefetzt gleiche Drehungen um parallele Achfen heißen ein Rotations- 
paar und die ihnen äquivalente Schiebung ihr Moment. 
Zwei Drehungen um _fich fchneidende Achfen A,B (Fig.8) von den Winkeln aßl 
ünd äquivalent einer einzigen Drehung um eine dritte Achfe C, die durch den Schnittpunkt O 
von A und B hindurchgeht. Man findet C, indem man an der erlten Achfe A (die Konltruktion 
wird am einfachften auf einer um O konitruierten Einheitskugel ausgeführt) .1, .9 im Sinne der 
Drehung iowie g 9' an der zweiten Achfe B im entgegengefetzten Sinne diefer anträgt und 
von O nach der dritten Ecke C des entltehenden fphärifchen Dreiecks die Gerade OC zieht. 
Der refultierende Drehwinkel I-I ift der doppelte Außenwinkel des fphärifchen Dreiecks an C. 
lnfolgedeffe" wird cos {r  cos .3, .9 cos g 3'  sin i, 9 sin g b" cos AB, 
sin CA  sin CB  sin AB 
sintW  singt?  sin 130' 
und, wenn p die Neigung der Achfe C gegen die Ebene AB der Achfen bezeichnet, 
sinp sin 4, (üzsin i, 3 sin g 3' sin AB. 
Die Rotationsfolge ift nicht umkehrbar. 
Die Folge zweier endlicher Schraubungen, die durch Achfe, Höhe und Dreh- 
winkel p, a, a bzw. q, b, ß gegeben lind, ilt eine neue Schraubung, deren Beftimmungsftiicke r, c, y 
wie folgt gefunden werden (Fig. 7): Man beitlmme die Gerade t, die zugleich p und q fenkrecht 
fchneidet, lege dann eine Gera_de s fo, daß lie p fenkrecht trifft und daß Abftand und Winkel 
der beiden Geraden s und t gleich 5a und w: ift, ebenfo die Ge- 
3b 9 C' rade u fo, daß fie q fenkrecht trifft und daß Abftand und Winkel 
 der Geraden t und u gleich ä- b und 1,3 ilt. Dann ift die Gerade r, 
B 3 die s und u fenkrecht trifft, die gefuchte Schraubenachfe; Abftand 
E (f, und Winkel der Geraden s und u lind die halbe Höhe und der 
3  halbe Winkel der gefuchten Schraubung 5 c und y 7. Die Folge 
  der Schraubungen ift nicht vertaufchbar. 
  Die Lehre von der Aequivalenz der Bewegungen eines itarren 
  Syftems hat durch H. Wiener [2] eine wefentliche Vereinfachung 
 f infoiern erfahren, als er zeigte, daß {ich jede Bewegung in mannig- 
5 facher Weile als Refultat zweier Umlegungen, d. h. Halbdrehungen 
um gewiffe Achfen darftellen läßt. So kommt die Schiebung (Trans- 
lation) einer Folge von Umwendungen um zwei parallele Achfen 
gleich. Die Folge zweier Umwendungen um {ich fchneidende Achfen 
gibt eine Drehung um eine durch den Schnittpunkt der Wende- 
Fi 8 achfen gehende und zu ihrer Ebene fenkrechte Achfe mit einem 
g'  Drehwinkel gleich dem doppelten Winkel der Wendeachfen. Die 
0 Folge zweier Umwendungen um {ich kreuzende Achfen ift durch 
eine Schraubenbewegung erfetzbar, deren Achfe durch den kürzeften 
Abltand der Wendeachfen beftimmt ilt, während die Schraubenhöhe gleich dem doppelten kür- 
zelten Abltand und die Drehung gleich dem doppelten Winkel der Wendeachfen ift. 
Im Falle unendlich kleiner Drehungen und Schraubungen ilt die Reihenfolge, in der iie 
vorgenommen werdeh, bedeutungslos für das Endergebnis. Wir betrachten zunächlt zwei 
Drehungen um die parallelen Achfen A und B mit den Winkeln dö" und 43'. Indem man die 
Bewegungen (Fig. 9, 10 und 11) verfolgt, welche die Punkte der Ebene 
der Achfen A, B annehmen, erkennt man, daß jene zweilDrehungen zu- B C 
Fi 
all) X  
3 an H 
h c dßl sie P 
1181 Kg Jt  
419i dßl  3 _  0' 
B s aß a9 
k.  a9 
"W am 0 
Fis- 9- Flg. 10. Fig. u. Fig. 12. 
fammen einer einzigen Drehung (Jbz-drffri dW äquivalent lind, je nachdem fie gleichen oder 
entgegengefetzten Sinn haben, und daß die Achfe C der refultierenden Drehung 39 in (118 
Ebene AB fällt, parallel mit A und B läuft und im erften Falle zwifchen diefen Achfen, im 
zweiten im Außenraume derfelben auf der Seite der Achfe liegt, welcher der größere Dreh- 
winkel angehört, und daß die Abüandsverhältniffe iind:  Im Falle df" 
 dir lind die Drehungen zufammen der unendlich kleinen Schiebung d1:AB-d9 äQUV
        

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